图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其他一些有用的正交变换,其中离散余弦就是一种。离散余弦变换表示为DCT( Discrete Cosine Transformation)，常用于图像处理和图像识别等。

一维离散余弦变换

正变换

                                   (1)

                            (2)

式中F(u)是第u个余弦变换系数，u是广义频率变量,u=1,2,3......N-1; f(x)是时域N点序列, x=0,1,2......N-1

反变换

  （3）

显然，式(1)式(2)和式(3)构成了一维离散余弦变换对。

二维离散余弦变换

正变换

  （4）

式(4)是正变换公式。其中f(x,y)是空间域二维向量之元素， x,y=0,1,2,......N-1；F(u,v)是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为N×N

反变换

 （5）

式中的符号意义同正变换式一样。式(4)和式(5)是离散余弦变换的解析式定义。

矩阵表示法

更为简洁的定义方法是采用矩阵式定义。根据以上公式定义可知，离散余弦变换的系数矩阵可以写成如下：

写成矩阵式

若定义F(u)为变换矩阵，A为变换系数矩阵，f(x)为时域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形式

[F(u)]=[A][f(x)]                       （6）

同理，可得到反变换展开式

写成矩阵式即

[f(x)]=[A]^T[F(u)]                      （7）

二维离散余弦变换也可以写成矩阵式：

[F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]^T            （8）

[f(x,y)]=[A]^T[F(u,v)][A]                     

式中[f(x,y)]是空间数据阵列，A是变换系数阵列，[F(u,v)]是变换矩阵，[A]T是[A]的转置。

对二维图像进行离散余弦变换

由以上对二维离散余弦变换的定义及公式（7）可知，求二维图像的离散余弦变换要进行以下步骤：

1.获得图像的二维数据矩阵f(x,y)；

2.求离散余弦变换的系数矩阵[A]；

3.求系数矩阵对应的转置矩阵[A]T；

4.根据公式（7）[F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T 计算离散余弦变换；

源代码：

package cn.edu.jxau.image;import java.awt.image.BufferedImage;/** * 图像的变换 * @author luoweifu * */public class Transformation {	/**	 * 要进行DCT变换的图片的宽或高	 */	public static final int N = 256;		/**	 * 傅里叶变换	 * @return	 */	public int[] FFT() {				return null;	}		/**	 * 离散余弦变换	 * @param pix 原图像的数据矩阵	 * @param n 原图像(n*n)的高或宽	 * @return 变换后的矩阵数组	 */	public int[] DCT(int[] pix, int n) {				double[][] iMatrix = new double[n][n]; 		for(int i=0; i